Howdy, Stranger!
It looks like you're new here. If you want to get involved, click one of these buttons!
Het oneindig kleine - intermezzo
Vrienden,
Wat sneller dan ik dacht lukte het mij toch om een kantje vol te schrijven over iets oneindig kleins. Of het allemaal exact en/of filosofisch verantwoord is laat ik in het midden - het was gewoon leuk om te doen.
Met iets van een knipoog er bij
Wees uiteraard welkom om er op in te gaan - serieus of speels... en neem het anders voor lief.
Al ben ik géén leraar - mijn antwoorden bestaan (gedeeltelijk) wél - en ik geef ze ook t.z.t.
Hartelijke groet. En schaf een goede microscoop aan!
Jan
Wat sneller dan ik dacht lukte het mij toch om een kantje vol te schrijven over iets oneindig kleins. Of het allemaal exact en/of filosofisch verantwoord is laat ik in het midden - het was gewoon leuk om te doen.
Met iets van een knipoog er bij
Wees uiteraard welkom om er op in te gaan - serieus of speels... en neem het anders voor lief.
Al ben ik géén leraar - mijn antwoorden bestaan (gedeeltelijk) wél - en ik geef ze ook t.z.t.
Hartelijke groet. En schaf een goede microscoop aan!
Jan
Comments
Dank je wel voor je bijdrage, een historische want de eerste op deze site!
Voor wat betreft het bestaan van infinitesimalen: dat is een lastig probleem. Ik zie twee mogelijke wegen die je kan bewandelen (of befietsen, als je dat liever doet).
De eerste is dat je de vorm 'df/dx' niet beschouwt als een quotient met 'df' als deeltal en 'dx' als deler, maar als de operator 'd/dx' toegepast op de functie 'f'. Die operator wordt ook wel de differentiaaloperator genoemd. De differentiaaloperator kan dan met klassieke 19de eeuwse technieken worden gedefinieerd als een limiet mbv epsilon-delta definities. In deze visie is de vraag wat 'dx' betekent hetzelfde als vragen wat 'aar' betekent in het woord 'paard'.
Maar voor je intuïtie werkt het wel makkelijk om net te doen of 'df/dx' wel een quotient is, en dat je bijv. uit 'df/dx = k' kunt concluderen dat 'df = k dx'. Handig bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen.
Het andere pad is de non-standaard analyse, in de jaren 60 van de vorige eeuw ontwikkeld door Abraham Robinson. Ik weet er weinig details maar Robinson breidt de reële getallen uit met extra elementen: de infinitesimalen. Daarvoor ontwikkelt hij een rigoureuze en consistente theorie. En volgens Balaguer is dat voldoende om het bestaan van infinitesimalen aan te tonen.
Met je uitgebreide citaat van Deleuze kan ik weinig. Ik beschouw de postmodernisten, zeker als het om hun teksten over exacte wetenschappen gaat, als warhoofden. Ze verwarren onbegrijpelijkheid met diepgang en trekken rookgordijnen op waar ze helderheid zouden moeten scheppen. Sinds Sokal (1996) en Sokal en Bricmont (1999) weten we dat het voornamelijk wartaal is. Aan bestudering van deze lieden ga ik mijn tijd niet verspillen.
Tot zover, later meer...
Groet,
Huub
en ook goedenavond, andere vrienden.
Goed om weer iets van je te te horen.
Ik waardeer het ook dat je toch de moeite hebt genomen om even serieus op mijn bijdrage in te gaan. Het was een bijdrage met een 'knipoog', al zou hij - op deze manier - misschien niet zo op de site passen.
Maar wel prettig dat je e.e.a. nog even scherp formuleert. Ik wil dat bovendien gebruiken in een communicatie met een ander persoon, over dit onderwerp en over de filosoof: Deleuze, waar hij, als student filosofie, een scriptie over wil schrijven.
Ik ga er daarom nog wel wat tijd aan verspillen - zuiver uit 'ondersteuning'. Want met je laatste alinea ben ik het roerend eens - dat was ik al... dat het wartaal is blijkt voor mij evident uit enkele passages.
Over het eerdere deel - nee, inderdaad, 'dx' op zich is niets, net zomin als de 'aard' in paard die je als voorbeeld geeft.
Het ging mij vooral om de vraag - als je die kan stellen - of iets oneindig kleins kan bestaan (ik vind die vraag niet zinvol) en of je 'iets oneindig kleins' nodig hebt in de (definities van) de differentiaalrekening. Nee dus, zoals je ook stelt. (De 'punt' in de 'wiskunde' daargelaten).
De non-standaard analyse die je noemt ga ik eens na - nooit van gehoord. Het zal best zo zijn dat Balaguer daar dan iets van vindt - maar dat is van later zorg.
Overigens, over uitbreidingen van getalsystemen - dat komt vaker voor. Al ben ik er nauwelijks in thuis, de rationale getallen kunnen blijkbaar uitgebreid worden met de p-adische nummers en zo verder (tegengekomen in J. Derbyshire - Prime obsession, p. 319, 320 en als eerste Kurt Hensel, 1897).
Tot slot, wat mogelijk van verder belang kan zijn om over te filosoferen, is het bestaan van bijvoorbeeld de differentiaaloperator d/dx - als voorbeeld van een wiskundig 'object' (voor gebrek aan een beter woord).
Ik wil niet als eerste beginnen met een discussie over het 'bestaan' van wiskundige objecten, structuren, daarnaast getallen.... al lijkt een discussie haast niet te vermijden.
Maar als het dan tot een discussie zou moeten komen, zou ik het wel leuk vinden als jullie eens konden formuleren wat voor soorten 'begrippen' of 'objecten' er zoal in de wiskunde kunnen bestaan. En wat dat bestaan dan betekent....
Intussen heb ik het gedeelte uit de reader wel grotendeels gelezen. Vraag is hoe we dit vervolgen. Een bespreking via onze site? Wil iemand over een onderdeel ervan iets schrijven of zeggen, er enige associaties aan verbinden of iets wellicht uitdiepen? Dat lijkt mij leuk. Ik weet nog niet of ik iets serieus kan schrijven (wil het wel proberen). Daarnaast ben ik nog een dag of drie aanwezig en dan acht dagen met vakantie. Dus op een kort bericht na heb ik voorlopig even niets.
Dan vroeg ik me ook nog af of het leuk zou zijn elkaar voor de zomer nog eens te ontmoeten (bv ergens in juni). Mij spreekt dat zeker aan. Wie wil er reageren?
Tot een volgende keer,
groet,
Jan
Beste Huub,
Je twee wegen bij de infintesimalen (differentiaaloperator en quotiënt) spreken mij zeer aan. Niet alleen ken ik het begrip 'operator' uit de quantummechanica, maar ook wordt door wat je zegt duidelijk wat voor mij reeds lang niet helder was. Daarom wil ik het graag goed begrijpen, en misschien wil je me hierbij op weg helpen met een paar vragen die ik nog heb. Ik dank, het makkelijkst aan de hand van een praktisch voorbeeld. Hier een paar stappen uit de afleiding van de Lorentzfactor (Speciale Relativiteit Theorie):
....... E.dE=pc^2/v.dp/dt.dx=pc^2/v.dp.dx/dt=pc^2/v.dp.v=pc^2.dp .......
Hier 'dp/dt' dus als quotiënt beschouwd, en daardoor 'dp/dt.dx' uitwisselbaar voor 'dp.dx/dt' (net als bij 4/2.6=4.6/2), en waarmee vervolgens, via 'dx/dt'='v' en het wegstrepen van de twee 'v's, als mooi voordeel. Met 'd/dt' als operator op functie 'p' ga je volgens mij dat voordeel niet hebben. Daarom mijn vraag over 'who is who in what land?': ligt dat voordeel (vereenvoudiging van een formule dan wel oplossen van een vergelijking) besloten in de keuze voor de quotiënt-beschouwing, of blijft dat voordeel ook bij de operator-keuze nog intrinsiek binnen de afleiding behouden dan wel zal het er later uiteindelijk toch wel uitkomen? Oftewel, in hoeverre bepaal je met de keuze quotiënt-operator de uitkomst van een afleiding? En ook, mag je beide (quotiënt en operator) door elkaar heen gebruiken dan wel hoe het je zo uitkomt? Anders gezegd, in hoeverre kunnen we, zoals bijvoorbeeld hier met de keuze quotiënt-operator, de werkelijkheid manipuleren? Vanuit het platonisme zeg ik natuurlijk: kán niet; de werkelijkheid ís, maar toch, het is wel zo dat we die werkelijkheid dan vervol-gens nog in ons hoofd hebben te definiëren ...
Met hartelijke groet,
Herman
Groet,
Huub
Beste Huub,
Dank voor je uitgebreide antwoord. En ja, dat LaTeX is inderdaad fantastisch mooi! (Ik heb hier al jaren een dikke instructieklapper liggen, maar ik ben daar nog steeds niet aan toegekomen.)
Als eerste over wat je schrijft bij "3 De natuurkunde", een kleine persoonlijke anekdote: toen ik zo'n vijf jaar geleden lineaire algebra in Leiden ging studeren, las ik ergens over een klappertje LA dat voor vijf Euri in het wiskundegebouw kon worden bekomen. In mijn naïviteit heb ik dat toen aangeschaft, en 10 pagina's later in dat klappertje begreep ik de wereld van verschil tussen de wiskunde en de natuurkunde, waarna ik mij - als sowieso leek - maar veilig aan Fraleigh & Beauregard heb gehouden. Ik geef toe, een beetje laf, maar hoe ook zij, ik kan mede daardoor wel je "gruwel" over het "informele handgewapper" begrijpen.
Echter je stelt me in elk geval toch enigszins gerust met dat "het informele [quotiënt] gebruik wel formeel onderbouwd kan worden". (Je kan me een plezier doen met een verwijzing naar de epsilon-delta definities.)
Waar ik nog wel een beetje mee zit, maar het kan zijn dat ik je uitleg toch nog niet goed kneis, is of een met een informeel gebruik [quotiënt] verkregen verandering (zoals in mijn voorbeeld van de Lorentz afleiding), ook binnen een formele toepassing behouden zal blijven, etc. (zie mijn email hiervóór). Maar misschien is dat meer iets voor later.
Hartelijke groet,
Herman
Beste Huub, en anderen,
Ik heb vraag waar ik onlangs tegenop liep, en ik heb die maar onder dit hoofdje van de site geparkeerd, omdat jij hier eerder heel zinvolle dingen hebt gezegd over het al dan niet geoorloofd zijn inzake het niet-formeel wiskundig toepassen van formuleringen zoals dp/dt.dx=dp.dx/dt .
Mijn vraag betreft het worteltrekken bij imaginaire getallen, namelijk, i^2 is gedefinieerd als = -1, en i als = √-1, en bijvoorbeeld gekeken naar i=-1/i -->links en rechts vermenigvuldigen met i--> i^2=-1i/i -> -1=-1 en dat klopt uiteraard. Echter je zou ook kunnen zeggen, zoals bij de reële getallen, bijvoorbeeld, wortel 12=wortel 4 * wortel 3 = 2*wortel 3, i*i -> wortel -1 * wortel -1 = wortel -1*-1 -> wortel 1 = 1 en dat klopt natuurlijk niet. Kennelijk geldt voor de imaginaire getallen niet het behoud van de wortel, zoals bij de reële getallen, en ik heb me suf gezocht, maar hierover geen formaliteit kunnen vinden.
Waarschijnlijk is mijn vraag een heel onnozele, want inderdaad, het is nu eenmaal zo gedefinieerd, maar toch ben ik benieuwd naar de formeel-wiskundige onderbouwing.
Kun jij me die geven, of mij daarnaar verwijzen?
Met bij voorbaat dank, en hartelijke groet,
Herman
Het mysterie van het "behoud van de wortel" is niet zo mysterieus als het lijkt. Vooral niet omdat in de reële getallen de wortel ook niet behouden blijft:
√(-3 * -4) = √(12) = 2 √(3) en daarin is van de oorspronkelijke negatieve getallen ook niets meer terug te vinden. Formeler gezegd: √(x*x) = x geldt alleen voor positieve waarden van x.
Overigens denk ik dat het eigenlijk niet handig is om i te definieren als √(-1). Ik schrijf het complexe getal a+bi meestal als het paar (a,b) en dan kan je de vermenigvuldiging als volgt definiëren: (a, b)*(c, d) = (ac-bd, bc+ad). Het getal i (dat ik zorgvuldig probeer te vermijden in deze uiteenzetting) kan je dan schrijven als (0, 1). Invullen van a=c=0 en b=d=1 in de definitie van vermenigvuldiging geeft dan: (0-1, 0+0) = (-1, 0). Dat laatste is een complex getal waarvan het imaginaire deel 0 is en het reële deel 1. Of dat hetzelfde is als het reële getal -1 is pas echte filosofie van de wiskunde (als informaticus ben ik geneigd om die vraag ontkennend te beantwoorden en hier een ingewikkeld betoog over inbeddingen en isomorfismen te houden, maar dit terzijde.)
Ik hoop dat dit jouw vraag afdoende beantwoord maar aarzel niet om nadere opheldering te vragen.
Groet,
Huub
Beste Huub,
Dank je wel! Je brengt een voor mij nieuwe, en ik voel nu al, heel verfrissende invalshoek aan bij het benoemen/definiëren van i. Ik moet er nog wel over broeden hoe ik die nieuwe gedachte binnen mijn eigen voorgaande onduidelijkheden kan integreren. En ik vind het heel tof dat ik ingeval nog eventueel verder bij je te rade mag gaan. Zeker waar je stelt "... . Of dat hetzelfde is als het reële getal -1 is pas echte filosofie van de wiskunde ...": wow!
Maar vooruit, eerst maar eens het voor mijzelf back-to-earth uitstukken.
Nogmaals dank, en met hartelijk,
Herman
Hierbij nog een kleine aanvulling - ik zag deze vraag vlak voor mijn vertrek. De uiteenzetting van Huub is op zich voldoende verklarend. Wel vroeg ik me af 'op welke manier' je verleden al eens (een, twee eeuwen geleden) iemand ingestonken die - ik geloof, het vermoeden van Fermat) wilde bewijzen en over het hoofd zag dat een veelgraads vergelijking die in het domein van de reële getallen géén oplossing heeft, wel een oplossing heeft in het domein van de complexe getallen. Waardoor zíjn bewijs van het vermoeden van Fermat ongeldig bleek. (Het is al laat en ik ben net terug van vakantie, nog niet zo scherp, en reken oefeningen liggen al weer een tijd in het verleden - dus kan ik het nog wel onjuist verwoorden).
Zoals je uit de 'analyse' ('calculus') die je gedaan hebt ten behoeve van je quantum mechanica colleges nog wel weet, worden complexe getallen vaak ook in het complexe vlak (aanschouwelijk) weergegeven - wat Huub met zijn 2 coördinaten illustreert.
Aan de basis van jouw vraag ligt de vergelijking z^2 + 1 = 0 ten grondslag, z is complex. (N.B. '^' is het 'machtsverheffen - bij gebrek aan een betere editor voor dit moment). Deze 2e graads vergelijking heeft twee - imaginaire - wortels, z(1) = i en z(2) = -i. Beide liggen op de imaginaire as, in andere notatie geschreven als respectievelijk z(1) = e^(pi/2*i) en z(2) = -e^(pi/2*i).
Kwadratering van beide geeft z(1)^2 = e^(2*(pi/2)*i) = e^(pi*i) = -1
en z(2)^2 = (-e^(pi/2*i)*2) = (-1*-1)e^(pi*i) = -1. Lastig wanneer je in deze tekst geen formules goed kwijt kunt (maar ik had op een geleende PC geen zin in Word en PDF).
Tot zover alles normaal, zou je zeggen.
Dus ik snap niet waar je schijnbare tegenspraak vandaan komt. Of het moest het volgende zijn.
i * i = -1 - dit ligt dicht tegen de formele definitie aan.
Algebraïsch zou ik het uitdrukken als i = (-1)^1/2 - en i*i = i^2 = -1.
Uitgeschreven: i * i = ( (-1)^1/2 ) * ( (-1)^1/2 ) = ( (-1)^1/2) ^2 = (-1) ^ (1/2 * 2) =
= (-1) ^ (1) = -1.
Waar het bij nauwkeuriger bestudering in jouw voorbeeld op neer komt is dat je de gelijkheid: wortel (-1) * wortel (-1) = wortel (-1 * -1) aanneemt. Dit blijkt formeel onjuist in een aantal gevallen. Eenzelfde redeneerfout maakte indertijd de door mij boven aangehaalde wiskundige (wie ?) die dacht 'Fermat' te bewijzen c.q. te falsificeren.
Hieruit blijkt dat de analogie (qua vorm) van een vermenigvuldiging in de verzameling van de reële getallen en in de verzameling van de complexe getallen - simpel gezegd - wel een analogie vertonen maar niet identiek zijn.
In een voorbeeld (alle getallen als complex getal opgevat) met wortel (-12) = wortel (4 * -3) = wortel 4 * wortel (-3) = 2 wortel (-3) gaat het wel goed, omdat één van beide factoren hierbij enkel een reële component heeft.
Ik zou overigens niet redeneren in termen van 'behoud van een wortel' want dat heeft wiskundig geen betekenis.
Tot slot illustreert het bovenstaande weer dat reële getallen niet zomaar 'een deel zijn' van de complexe getallen. Daar gaat gelden wat Huub volgens mij aangeeft, namelijk dat het reële getal -1 niet identiek is aan het complexe getal (-1,0).
Met de het stellingname (?) van Huub, namelijk dat de vraag of reële getal -1 gelijk is aan het complexe getal -1, een vraag van filosofische aard is, ben ik het overigens niet eens.
De schijnbare overeenkomst en feitelijke verschillen tussen beide vloeien gewoon voort uit de wiskundige definities van reële getallen en vervolgens de complexe uitbreiding van de reële getallen. Voor mij is dit geen filosofie (helaas).
Ik hoop dat, ondanks het wat moeilijk leesbare geheel, dit wat heeft kunnen bijdragen aan discussies en helderheid.
Ik weet niet of ik nog voor mijn volgende vakantie over 3 dagen nog on-line kom. Maar wil graag iedereen een prettige zomer wensen. En zie uit naar het oppakken van discussies in het najaar, en niet in de laatste plaats naar de serie lezingen van Teun, volgend voorjaar. Ik worstel nu al met 'wat wiskunde is' - aan de werkelijkheid durf ik zomaar niet te beginnen....
Groeten,
Jan
Beste Jan,
Dank voor je aanvulling. Omdat ik morgen met Mickey voor een kleine week naar Stavelot vertrek voor diverse besprekingen (met daarnaast hopelijk twee dagen uitwaaien aan de Belgische kust), heb ik op 't moment niet veel tijd, dus hier een korte reactie.
Ik heb je formuleringen even voor mijzelf uitgeschreven, en afgezien van dat ik de tweedegraads machtsverheffing van z2 via coëfficiënten (-1*-1) waarbij de 2 in het superscript van -e wordt gehandhaafd, wat omslachtig vind, lijken mij die formuleringen correct. Ietsje meer moeite heb ik met je uitspraak bij je wortel -12 voorbeeld, van "alle getallen als complex getal opgevat"; zelf kom ik bij wortel (-12)=wortel (4*-3)=2*wortel (-3)=2*wortel (3*-1)=2*(wortel3)*i, waarbij ik alleen maar i als complex getal onderken en de getallen 2, 4, en wortel 3 als reëel. Maar als gezegd, ik zit wat in de haast, dus mogelijk begrijp ik je verkeerd.
Los van bovengenoemde, en nog weer met de premisse van tijdgebrek, zie ik ook niet goed de quintessens van het verschil met Huubs voorgaande uitleg, maar goed mogelijk berust dat op meer verfijnde wiskundige interpretatie - dat laat ik graag aan jou en Huub voor nu.
Als laatste, aangaande 'filosofie': kennelijk heb ik Huubs woorden verkeerd geïnterpreteerd - zou kunnen in mijn enthousiasme ... Anderszins snijd je met je laatste zin "Ik worstel nu al met 'wat wiskunde is' - aan de werkelijkheid durf ik niet zomaar te beginnen ..." in ieder geval een wonderschoon filosofisch thema aan, namelijk, is wiskunde wellicht iets anders dan werkelijkheid?! Je zult begrijpen, dat dat voer voor platonisten is! En omdat ik weet dat je graag de dingen uitsluitend zuiver wiskundig wilt beschouwen, zal ik je hiertoe de vraag die zich in het verlengde binnen de theorische fysica zal aandienen, namelijk, 'is wiskunde informatie?', niet stellen.
Heel veel plezier voor jou en Edith bij jullie aanstaande tweede vacantie-episode!
Met hartelijk,
Herman